Немножко о раскладах
Dec. 28th, 2010 02:19 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
rezonerВсякий, кто играл в преферанс, слышал или сам говорил фразу: о, такой расклад был тогда-то!
Между тем давайте посчитаем, не спеша, на пальцах, часто ли встречается "такой же расклад". Извините, те, кто знaком с материалом, я буду очень подробно.
Предположим, вы сидите на первой руке. Начнем с вас. У вас есть 10 карт, пронумеруем их с 1 до 10. На первой позиции может быть любая из 32 карт, на второй - любая из оставшихся 31 и т.д. Число комбинаций - 32*31*...*23, или 32!/22! (! - знак факториала, N! - это произведение всех натуральных чисел от 1 до N). Это много, 32!/22!= 234,102,016,512,000.
Но когда мы получили карты, порядок нам неважен, мы их все равно сами раскладываем по мастям, чтобы удобнее было смотреть. Одна и та же комбинация карт может быть сдана большим количеством способов, а именно: на первом месте может быть любая из 10 карт, на втором - любая из оставшихся 9 и т.д. Итого есть 10!(=3,628,800) способов сдать те же карты. Так что мы делим 32!/22! еще и на 10! и получаем умеренное число комбинаций - 64,512,240.
Однако расклад - это не то, что у первого игрока на руке, а сочетание первой, второй и третьей руки. Посмотрим на вторую руку. Первые 10 карт уже лежат на первой руке, значит, мы повторяем вычисление, исходя из 22 карт: 22!/12!*10!=646,646.
На третьей руке комбинаций остается совсем мало: 12!/2!*10!=66. А если мы знаем все три руки, то прикуп определяется однозначно, никаких новых комбинаций он не дает.
Ну а теперь мы просто перемножаем все три числа возможных комбинаций, и получаем, что всего раскладов у нас 64,512,240*646,646*66 = 2,753,294,408,504,640. Это тоже много. Насколько много? (Назовем это число для удобства Q).
Положим, что вы с двумя приятелями сели и режетесь в преферанс. И каждую минуту сдаете новую сдачу, торгуетесь, смотрите расклад, записываете и сдаете опять. Итого у нас происходит 1 сдача в минуту, или 60 в час, или 1440 в сутки или 525,960 в год.
Положим, что расклад всякий раз разный. Вам потребуется всего-навсего 5,234,798,100 лет, чтобы исчерпать все расклады - столько, сколько существует Земля.
Но это маловероятно, чтобы сдача была всякий раз разная. Интереснее посчитать - сколько лет нужно играть, чтобы расклад повторился с вероятностью, скажем, 1%?
Вероятность получить тот же расклад в следующей сдаче равна 1/Q. Занчит, вероятность, что расклад будет другим, равна 1-1/Q. Вероятность, что в третьей сдаче расклад будет таким, как в первой или второй, равна 2/Q, a что другим - 1-2/Q. Чтобы посчитать вероятность ни разу не получить одинаковый расклад за N сдач, нам надо перемножить (1-1/Q)*(1-2/Q)*...*(1-N/Q). И эта вероятность должна быть меньше 99%. Получается, что надо играть, сдавая раз в минуту, 14 лет, чтобы расклад повторился хотя бы с вероятностью 1%.
Если начать прямо сейчас, то можно успеть. Но не приходите раньше, чем через 15 лет, со словами: "о, точно такой расклад был у меня в Ростове-на-Дону лет пять тому назад".
Между тем давайте посчитаем, не спеша, на пальцах, часто ли встречается "такой же расклад". Извините, те, кто знaком с материалом, я буду очень подробно.
Предположим, вы сидите на первой руке. Начнем с вас. У вас есть 10 карт, пронумеруем их с 1 до 10. На первой позиции может быть любая из 32 карт, на второй - любая из оставшихся 31 и т.д. Число комбинаций - 32*31*...*23, или 32!/22! (! - знак факториала, N! - это произведение всех натуральных чисел от 1 до N). Это много, 32!/22!= 234,102,016,512,000.
Но когда мы получили карты, порядок нам неважен, мы их все равно сами раскладываем по мастям, чтобы удобнее было смотреть. Одна и та же комбинация карт может быть сдана большим количеством способов, а именно: на первом месте может быть любая из 10 карт, на втором - любая из оставшихся 9 и т.д. Итого есть 10!(=3,628,800) способов сдать те же карты. Так что мы делим 32!/22! еще и на 10! и получаем умеренное число комбинаций - 64,512,240.
Однако расклад - это не то, что у первого игрока на руке, а сочетание первой, второй и третьей руки. Посмотрим на вторую руку. Первые 10 карт уже лежат на первой руке, значит, мы повторяем вычисление, исходя из 22 карт: 22!/12!*10!=646,646.
На третьей руке комбинаций остается совсем мало: 12!/2!*10!=66. А если мы знаем все три руки, то прикуп определяется однозначно, никаких новых комбинаций он не дает.
Ну а теперь мы просто перемножаем все три числа возможных комбинаций, и получаем, что всего раскладов у нас 64,512,240*646,646*66 = 2,753,294,408,504,640. Это тоже много. Насколько много? (Назовем это число для удобства Q).
Положим, что вы с двумя приятелями сели и режетесь в преферанс. И каждую минуту сдаете новую сдачу, торгуетесь, смотрите расклад, записываете и сдаете опять. Итого у нас происходит 1 сдача в минуту, или 60 в час, или 1440 в сутки или 525,960 в год.
Положим, что расклад всякий раз разный. Вам потребуется всего-навсего 5,234,798,100 лет, чтобы исчерпать все расклады - столько, сколько существует Земля.
Но это маловероятно, чтобы сдача была всякий раз разная. Интереснее посчитать - сколько лет нужно играть, чтобы расклад повторился с вероятностью, скажем, 1%?
Вероятность получить тот же расклад в следующей сдаче равна 1/Q. Занчит, вероятность, что расклад будет другим, равна 1-1/Q. Вероятность, что в третьей сдаче расклад будет таким, как в первой или второй, равна 2/Q, a что другим - 1-2/Q. Чтобы посчитать вероятность ни разу не получить одинаковый расклад за N сдач, нам надо перемножить (1-1/Q)*(1-2/Q)*...*(1-N/Q). И эта вероятность должна быть меньше 99%. Получается, что надо играть, сдавая раз в минуту, 14 лет, чтобы расклад повторился хотя бы с вероятностью 1%.
Если начать прямо сейчас, то можно успеть. Но не приходите раньше, чем через 15 лет, со словами: "о, точно такой расклад был у меня в Ростове-на-Дону лет пять тому назад".
no subject
Date: 2010-12-28 07:46 pm (UTC)